Progressão Aritmética Stoodi
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- Progressão aritmética [P.A.] e Progressão geométrica [P.G.] - TIC na Matemática
(UNICID) A soma dos múltiplos de 5 entre 100 e 2000, isto é, 105 + 110 + 115 + … + 1995, vale: a) 5870 b) 12985 c) 2100. 399 d) 2100. 379 e) 1050. 379 10. (UE – PONTA GROSSA) A soma dos termos de P. é dada por Sn = n 2 – n, n = 1, 2, 3, … Então o 10° termo da P. A vale: a) 18 b) 90 c) 8 d) 100 e) 9 Leia o artigo: Progressão Aritmética (P. ) Respostas: 01. C 02. D 03. a1 = 57 04. a5 = 15 05. (2; 7; 12; 17; …) 06. x = 4 07. n = 6 e a6 = 17 08. A 09. E 10
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A decrescente de razão – 5. A PA será constante quando sua razão for nula, ou seja, for igual a zero (r = 0). Todos os seus termos serão iguais. Ex: (2, 2, 2,... A constante de razão nula. Progressão aritmética e progressão geométrica As progressões são estudadas pela matemática para definir números sequenciais reais, entretanto, existe uma diferença entre a progressão aritmética e a progressão geométrica. Enquanto a progressão aritmética apresenta a sequência de números onde a diferenças numéricas entre um termo e seu antecedente é constante, na progressão geométrica a constante deriva do quociente deste termo e do seu antecessor. Veja também o significado de Progressão Geométrica.
(b + n - 1). Assinale a alternativa que contém a(as) afirmativa(s) correta(s). a) I. b) II. c) III. d) II e IV. e) III e IV. Calculando a área dos retângulos, temos: A = a. b A 1 = a. (b + 1) = a. b + a A 2 = a. (b + 2) = a. b. + 2a A 3 = a. (b + 3) = a. b + 3a Pelas expressões encontradas, notamos que a sequência forma uma P. de razão igual a a. Continuando a sequência, encontraremos a área do enésimo retângulo, que é dada por: A n = a. b + (n - 1). a A n = a. b + a. n - a Colocando o a em evidência, temos: A n = a (b + n - 1) Alternativa: d) II e IV. Saiba mais, lendo também: Sequência Numérica Progressão Aritmética - Exercícios Progressão Geométrica Progressão Geométrica - Exercícios Fórmulas de Matemática Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.
Já fez 3 contagens e encontrou 3 números diferentes. Desesperada, pediu ajuda a uma colega para fazerem uma nova contagem, entretanto, foi encontrado um novo número. A sua amiga rapidamente se descartou daquela tarefa justificando-se que nunca tinha sido boa aluna a matemática. É certo que Gauss já não vai poder ajudar a Catarina, mas deixou-nos a maior riqueza que se pode herdar - o conhecimento. É com base nesse conhecimento que conto com a solidariedade do leitor para ajudar a Catarina a determinar o número exato de latas que utilizou naquela construção. Jogos de Memória Segundo pesquisadores, crianças que têm uma memória de trabalho pouco eficiente têm dificuldades em Matemática. E considerando a recíproca, crianças que são pouco habilidosas em Matemática têm problemas com memória de trabalho. E mais, indivíduos sem dificuldades em Matemática tiveram melhor desempenho em atividades de memória de curto prazo verbal e viso-espacial. E o mais interessante, o desempenho das memórias de curto prazo verbal e viso-espacial, detectadas nos participantes, preveem o seu desempenho nas habilidades matemáticas.
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Ora bem, as condições do enunciado da tarefa levam a concluir que a soma dos quatro números pertencentes a cada triângulo terá de ser a mesma, isto é: a + b + c + d = d + e + f +g. Por outro lado, a soma dos sete valores envolvidos na tarefa é 28, pois 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7. Logo, se se excluir o valor comum (d), a soma dos seis números restantes terá de ser um valor par, para que possibilite duas metades inteiras de igual valor numérico, pois a + b + c = e + f + g. Sendo assim, existem três possibilidades de isso ocorrer: - atribuir à letra "d" o valor 2, resultando uma soma 26, subdividida em duas somas de valor 13; - atribuir à letra "d" o valor 4, resultando uma soma 24, subdividida em duas somas de valor 12; - atribuir à letra "d" o valor 6, resultando uma soma 22, subdividida em duas somas de valor 11. Resta, agora, testar se para cada caso os seis números sobrantes se dividem exactamente nas duas somas de igual valor numérico: - 1º caso: 13 = 7 + 5 + 1 e 13 = 6 + 4 + 3; - 2º caso: 12 = 7 + 3 + 2 e 12 = 6 + 5 + 1; - 3º caso: 11 = 7 + 3 + 2 e 11 = 5 + 4 + 2.
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Por exemplo, o termo a 4 na P. A (2, 4, 6, 8, 10) é o número 8, pois é o número que ocupa a 4ª posição na sequência. Classificação de uma P. De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em: Constante: quando a razão for igual a zero. Por exemplo: (4, 4, 4, 4, 4... ), sendo r = 0. Crescente: quando a razão for maior que zero. Por exemplo: (2, 4, 6, 8, 10... ), sendo r = 2. Decrescente: quando a razão for menor que zero (15, 10, 5, 0, - 5,... ), sendo r = - 5 Propriedades da P. 1ª propriedade: Em uma P. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Exemplo 2ª propriedade: Considerando três termos consecutivos de uma P. A., o termo do meio será igual a média aritmética dos outros dois termos. Exemplo 3ª propriedade: Em uma P. finita com número de termos ímpar, o termo central será igual a média aritmética do primeiro termo com o último termo. Fórmula do Termo Geral Como a razão de uma P. é constante, podemos calcular seu valor a partir de quaisquer termos consecutivos, ou seja: Sendo assim, podemos encontrar o valor do segundo termo da P. fazendo: Para encontrar o terceiro termo utilizaremos o mesmo cálculo: Substituindo o valor de a 2, que encontramos anteriormente, temos: Se seguirmos o mesmo raciocínio, podemos encontrar: Observando os resultados encontrados, notamos que cada termo será igual a soma do primeiro termo com a razão multiplicada pela posição anterior.
Progressão aritmética [P.A.] e Progressão geométrica [P.G.] - TIC na Matemática
Após algumas atualizações e ter criado uma planilha no Excel para tratar de funções polinomiais do segundo grau com uma incógnita, resolvi continuar o padrão de posts relacionados à planilhas eletrônicas. Então segue mais esta postagem, agora tratando de Progressão Aritmética (PA) e Progressão Geométrica (PG). PA e PG são conteúdos comumente estudados no ensino médio e que lidam com sequências numéricas. A PA é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com o número fixo, dito razão desta progressão. A PG é uma sequência de números não nulos em que cada termo posterior, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo dito razão desta progressão. Os gráficos gerados dos números da sequência de uma PA ou de uma PG têm aparência com a logo deste post. Existem inúmeras questões a respeito destes conteúdos que demandam interpretação das situações propostas, para além dos cálculos em fórmulas como apresenta a planilha. Estes conteúdos têm aplicações em diversas áreas, por exemplo, na Biologia com a reprodução das bactérias; ou em Química, no balanceamento e na proporção de fusão de elementos, na Economia, com crescimentos ou decrescimentos constantes ou variáveis ou com juros simples e juros compostos; ou seja, situações que envolvem sequências numéricas.
n = Número de termos da P. A. ou posição do termo numérico na P. A r = Razão Entretanto, se tivermos uma P. A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos à seguinte fórmula para somarmos os n elementos de uma P. A finita. Onde, temos: Sn = Soma dos n primeiros termos da PA a₁ = Primeiro termo da PA an = Ocupa a enésima posição na sequência n = Posição do termo Classificação das progressões aritméticas No que diz respeito às classificações, as progressões aritméticas podem ser crescentes, decrescentes e constantes. Uma PA será crescente quando sua razão (r) for positiva, ou seja, maior que zero (r > 0). A sequência numérica será crescente quando, cada termo a partir do segundo for maior que o antecessor. Ex: (1, 3, 5, 7,... ) é uma P. A crescente de razão 2. Já a PA será decrescente se a sua razão (r) for negativa, ou seja, menor que zero (r < 0). A sequência numérica será decrescente quando, cada termo a partir do segundo for menor que o antecessor. Ex: (15, 10, 5, 0, -5...
A planilha aborda alguns cálculos relacionados à PA e à PG, o mais importante está na leitura, no entendimento e na aplicação destes conteúdos. Os cálculos são básicos e até repetitivos quando estudados na escola. Está planilha então serve para verificar os cálculos realizados. Trabalhar a implementação desta planilha é até interessante, mas demandaria outras implementações para explorar mais o conteúdo. Mesmo assim, apresento as funcionalidades da planilha, bem como o modo em que a implementei. Funcionalidades da Planilha As funcionalidades da planilha já são aparentes na imagens. São realizados 6 diferentes resultados para a PA e para a PG: # enésimo termo; # primeiro termo; # razão (r, q); # número de termos (n); # soma dos n termos (S); # 10 primeiros termos. Apesar das legendas indicarem "Cálculo" os valores obtidos na verdade são apenas resultados, já que os cálculos estão ocultos nas fórmulas. Estas fórmulas são apresentadas detalhadamente mais abaixo, tanto no formato algébrico, quanto no formato lógico-matemático (codificação Excel).